一道神奇的三角恒等式的证明（非原创）
本文公式较多，在浏览器中将会花较长时间用于渲染公式。
在柯斯特利金的《代数学引论》里面居然看到了这样的一个恒等式：
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n \cot^2(\frac{k\pi}{2n+1}) = \frac{n(2n-1)}{3}
\end{equation}
自己想了想，用数学归纳法没有证明出来，于是谷歌查解法（谷歌的匹配还是很强大的），查到证明如下，书上的留白太小，所以把它记录在这里：
首先是一个引理，也是一个恒等式
\begin{equation}
\tan rx=\frac{\binom r1\tan x-\binom r3\tan^3x+\cdots}{1-\binom r2\tan^2x+\cdots}
\end{equation}
证明如下：
根据复变函数欧拉公式和二项式展开定理可以得到
相除得到
\begin{equation}
\tan rx=\frac{\binom r1\tan x-\binom r3\tan^3x+\binom r5\tan^5x-\cdots}{1-\binom r2\tan^2x+\binom r4\tan^4x-\cdots}
\end{equation}
接下来，如果$\tan(2n+1)x=0$，即$(2n+1)x=n\pi,n\in N$，那么$\tan x$将满足方程
\begin{equation}
\binom{2n+1}1\tan x-\binom{2n+1}3\tan^3x+\cdots+(-1)^{n}\tan^{2n+1}x=0
\end{equation}
令$\tan^2 x = \frac{1}{y}$，那么$y$会是下面的多项式的根：
\begin{equation}
\binom{2n+1}1y^n-\binom{2n+1}3y^{n-1}+\cdots+(-1)^n=0
\end{equation}
方程的根为$\cot^2x = y$，当$x=0,\pm\dfrac{\pi}{2n+1},\pm\dfrac{2\pi}{2n+1},\pm\dfrac{k\pi}{2n+1}$
最后，由韦达定理可以得到
\begin{equation}
\implies \sum_{k=1}^n \cot^2(\frac{k\pi}{2n+1}) = \frac{n(2n-1)}{3}
\end{equation}